Throw a wrench in the works

この「Throw a wrench in the works」は、「(誰かの)計画を台無しにする「もしくは「進行を妨げる」という意味のフレーズです。

「機械にただ工具を投げ入れても壊してしまうだけ」というイメージから生まれたフレーズで、そこから更に転じて単純に"妨害する"という意味でも使われる場合もあります。

なお、「Throw a wrench in the works」はアメリカ式の言い方で、イギリスでは「Throw a spanner in the works」と

「レンチ」が「スパナ」になり、他にも「Throw a monkey wrench in the works」のように「モンキーレンチ」になる場合もあります。

例文:
「We keep trying to get together, but his busy schedule keeps throwing a wrench into our plans (私たちは会おうとしているけど、彼の忙しすぎるスケジュールのせいで会うことができない。)」